Số học đồng dư (Phần 1): Đồng dư thức và Nghịch đảo modulo
I. Phép đồng dư thức cơ bản
Đồng dư thức là phép toán lấy số dư của số này khi chia cho số khác, kí hiệu là . Ví dụ: , khi đó có thể viết là .
Phép đồng dư thức có tính chất phân phối đối với phép cộng, phép nhân và phép trừ, cụ thể như sau:
- .
- .
- .
Riêng đối với phép chia, chúng ta không có tính chất phân phối, mà phải sử dụng một lí thuyết là Nghịch đảo modulo.
II. Nghịch đảo modulo của một số
1. Định nghĩa
Như chúng ta đều biết ở chương trình Toán phổ thông, nghịch đảo của một số nguyên (kí hiệu ) là số thỏa mãn: .
Đối với nghịch đảo modulo, ta cũng có khái niệm tương tự, nhưng là xét trên tập số dư khi chia cho . Nghịch đảo modulo của một số (cũng kí hiệu ) là số nguyên thỏa mãn: (Nói cách khác, chính là . Lấy ví dụ, nếu ta chọn thì .
Không phải lúc nào cũng tồn tại . Chỉ khi thì mới tồn tại là nghịch đảo modulo của . Để tính nghịch đảo modulo của một số, ta có thể sử dụng hai giải thuật: Giải thuật Euclid mở rộng hoặc dựa trên định lý Fermat nhỏ (áp dụng giải thuật chia để trị tính ).
2. Giải thuật Euclid mở rộng
có một tính chất là luôn có thể biểu diễn dưới dạng phương trình:
Giải thuật Euclid mở rộng sử dụng để tìm một cặp số nguyên thỏa mãn phương trình trên, và còn dùng để tính nghịch đảo modulo (mình sẽ nói tới ở phần sau). Cặp số có thể có giá trị âm, hoặc bằng đều được. Dưới đây tôi sẽ trình bày giải thuật tìm và một cặp thỏa mãn phương trình.
long long d, x, y; // UCLN và cặp nghiệm (x, y).
void extended_euclid(long long A, long long B)
{
if (B == 0)
{
x = 1;
y = 0;
d = A;
}
else
{
extended_euclid(B, A % B);
long long temp = x;
x = y;
y = temp – (A / B) * y;
}
}
int main()
{
cin >> A >> B;
extended_euclid(A, B);
cout << d << ' ' << x << ‘ ‘ << y;
return 0;
}
Cơ chế của giải thuật như sau: Ban đầu chương trình thực thi giống giải thuật Euclid, tới khi khi đó ta sẽ có là ước chung lớn nhất của và sau đó đặt . Bởi vì và hiện tại nên phương trình trở thành:
Sau đó chương trình gọi lại các lệnh dưới lời gọi đệ quy để tìm ra và . Chứng minh như sau:
- Sau khi gọi đệ quy, phương trình ở bước tiếp theo của giải thuật là:
- Thay , phương trình trở thành:
- Từ đây được công thức đệ quy:
- Như vậy từ bước cơ bản chương trình sẽ tiếp tục tính ngược lên để ra được thỏa mãn phương trình ban đầu. Độ phức tạp giải thuật là .
Ngoài ra, giải thuật Euclid mở rộng còn có thể sử dụng để giải phương trình Diophantine tuyến tính, sẽ được đề cập tới ở một bài viết khác.
3. Tính toán nghịch đảo Modulo của một số
Sử dụng giải thuật Euclid mở rộng
Như đã trình bày ở trên, theo giải thuật Euclid mở rộng, nếu , ta luôn tìm được và thỏa mãn: . Mà chia hết cho , do đó phương trình trở thành:
Từ đây suy ra chính là . Tuy nhiên trong giải thuật Euclid mở rộng, có thể mang giá trị âm, nên ta sẽ điều chỉnh một chút để tính được giá trị luôn không âm. Code dưới đây sẽ tái sử dụng lại đoạn code giải thuật Euclid mở rộng ở phía trên:
long long modulo_inverse(long long a, long long M)
{
extended_euclid(a, M);
// a và M không nguyên tố cùng nhau, không tồn tại nghịch đảo modulo M của a.
if (d != 1)
return -1;
// Do x có thể âm, ta làm dương nó.
return (x % M + M) % M;
}
Tính nghịch đảo modulo bằng định lý Fermat nhỏ
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: Nếu là số nguyên tố và không chia hết cho thì:
a^{M-1}\equiv 1 \ (\text{mod} \ M)$$ hay nói cách khác: $$a\times a^{M-2} \equiv 1 \ (\text{mod} \ M)Điều này tương đương với việc nếu là số nguyên tố và không chia hết cho thì chính là nghịch đảo modulo của , cũng tương đương với là nghịch đảo modulo của .
long long power_mod(long long a, long long b, long long M) // Tính a^b % M.
{
if (b == 0)
return 1;
if (b == 1)
return a;
long long half = power_mod(a, b / 2, M) % M;
if (b % 2 == 0)
return (half * half) % M;
else
return (((half * half) % M) * a) % M;
}
long long modulo_inverse(int a, int M)
{
return power_mod(a, M – 2, M);
}
4. Áp dụng nghịch đảo modulo để tính
Mình đã đề cập ở mục , phép chia không có tính chất phân phối đối với phép đồng dư thức giống như các phép cộng, trừ và nhân. Để tính ta làm như sau:
- Tách trong đó là nghịch đảo modulo của .
- Sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép đồng dư thức, lúc này phép chia modulo trở thành phép nhân với nghịch đảo modulo. Lưu ý, tùy vào giá trị mà ta chọn cách tìm nghịch đảo modulo thích hợp ( có là số nguyên tố hay không).
Cài đặt:
long long modulo_divide(long long a, long long b, long long c)
{
long long inverse = modulo_inverse(b, c);
return (a % c * inverse) % c;
}
III. Một số kiến thức nâng cao khác
1. Bậc lũy thừa theo modulo (Multiplicative Order)
Xét hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau, bậc lũy thừa của theo modulo là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn: , kí hiệu là .
Theo định lý Euler, vì và là hai số nguyên tố cùng nhau nên với là số lượng số nguyên dương không vượt quá và nguyên tố cùng nhau với . Mà , do đó , vậy để tìm chỉ cần duyệt một vòng lặp từ tới với độ phức tạp .
int find_m_order(int a, int N)
{
int mul = 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
{
mul = (mul * a) % N;
if (mul == 1)
return i;
}
}
2. Tiêu chuẩn Euler (Euler's Criterion)
Đầu tiên, ta làm quen với khái niệm Thặng dư bậc hai: Một số nguyên được gọi là thặng dư bậc hai theo modulo nếu như nó đồng dư với một số chính phương theo modulo nghĩa là tồn tại một số nguyên sao cho .
Trong lý thuyết số, tiêu chuẩn Euler là một công thức dùng để xác định xem một số nguyên có phải là một thặng dư bậc hai theo modulo (với là một số nguyên tố) hay không. Theo đó, xét hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau, trong đó là một số nguyên tố lẻ. Ta có công thức sau:
Đối với trường hợp mọi số nguyên đều là thặng dư bậc hai theo modulo .
Ví dụ, xét , ta có là thặng dư bậc hai của , vì tồn tại hai số nguyên và thỏa mãn .
long long power_mod(long long a, long long b, long long P)
{
if (b == 0)
return 1;
if (b == 1)
return a;
long long half = power_mod(a, b / 2, P) % P;
if (b % 2 == 0)
return (half * half) % P;
else
return (((half * half) % P) * (a % P)) % P;
}
// Kiểm tra N có phải thặng dư bậc 2 của P hay không.
bool check_quadratic_residue(long long N, long long P)
{
if (P == 2)
return true;
else
return (power_mod(N, (P - 1) / 2, P) == 1);
}
Trong trường hợp và cùng có dạng , thì giá trị thỏa mãn (nếu tồn tại) chỉ có thể là: . Dựa vào nhận xét này ta có thể tính nhanh ra giá trị . Chứng minh nhận xét như sau:
- Theo định lý Euler, ta có: .
- Nhân cả hai vế với :
- Lại có: . (do đẳng thức ). (do ). . (do ).
Cài đặt:
int find_quadratic_residue(int N, int P)
{
// P và N không ở đúng dạng 4i + 3, không tính được theo cách này.
if (P % 4 != 3 || N % 4 != 3)
return -1;
int x = power_mod(N, (P + 1) / 2, P);
// Kiểm tra giá trị x thứ nhất có hợp lệ không.
if ((x * x) % P == N % P)
return x;
// Kiểm tra giá trị x thứ hai có hợp lệ không.
x = P - x;
if ((x * x) % P == N % P)
return x;
// Nếu không tồn tại x, kết luận N không phải thặng dư bậc 2 của P
return -1;
}
IV. Tài liệu tham khảo
- https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
- https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_criterion
- https://vnoi.info/wiki/translate/he/So-hoc-Phan-1-Modulo-gcd.md
- https://vnoi.info/wiki/algo/math/modular-inverse.md
- https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse
- https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order
- https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euler
- https://www.geeksforgeeks.org/find-square-root-under-modulo-p-set-1-when-p-is-in-form-of-4i-3/
©️ Tác giả: Vũ Quế Lâm từ Viblo
All Rights Reserved