Thừa số nguyên tố và Chính phương

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rằng, để một số là số chính phương, thì khi phân tích nó thành tích các thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố đó đều phải có bậc là chẵn.

Ví dụ $25 = 5^2$, có 5 có số mũ là chẵn, nên nó là số chính phương. $20 = 2^2 * 5$, có 2 có sỗ mũ chẵn, 5 có số mũ lẻ, nên nó không là số chính phương.

Theo đó, để tìm số chính phương từ tích của các số được lấy từ tập các số từ 1 đến n, thì chúng ta cần chọn ra một danh sách các số, sao cho khi phân tích tích của chúng thành các thừa số nguyên tố, thì các thừa số nguyên tố đó đều có bậc là chẵn, đồng thời chúng ta phải tìm số lớn nhất, và dãy số tạo ra số lớn nhất như vậy.

Nếu để ý kỹ, bạn sẽ thấy chúng ta chỉ cần lấy $n!$, phân tích $n!$ thành tích các thừa số nguyên tố, và khi đó, chỉ cần hạ một bậc của các thừa số có số mũ lẻ, xuống số mũ chẵn, thì chúng ta sẽ được một số chính phương. Theo đó chúng ta chỉ cần chia $n!$ cho các số nguyên tố mà có sỗ mũ lẻ, là sẽ được một số chính phương, và đây chính là số chính phương lớn nhất mà chúng ta cần tìm.

Ví dụ, nếu n = 8 thì $8! = 40320 = 2^7 * 3^2 * 5 * 7$

Theo đó 2, 5, và 7 là có số mũ lẻ, theo đó ta chỉ cần loại bỏ 2, 5, và 7 ra khỏi dãy số ban đầu, và còn lại 3, 4, 6, 8 thì tích của 4 số này sẽ tạo ra số chính phương mà chúng ta cần (tích của chúng sẽ là $2^6 * 3^2$, không cần phải tính ra kết quả thì nhìn cái cũng thấy nó là một số chính phương rồi)

Hoặc bạn có thể làm một cách khác, xử lý số nhỏ hơn, không phải tính giai thừa (số sẽ rất to), đó là phân tích các số từ 1 đến n thành tích các thừa số nguyên tố, rồi lần lượt đếm xem số lần xuất hiện của các thừa số nguyên tố là chẵn hay lẻ, số nào xuất hiện lẻ lần, thì chính là số cần loại bỏ trong dãy số sẽ tạo ra số chính phương cần tìm.

Bạn có thể tham khảo đoạn code Python dưới đây (generated by ChatGPT, nên bạn check kỹ nhé 😅)

import math
from collections import Counter

def prime_factors(n):
    """Trả về danh sách các thừa số nguyên tố của n."""
    i = 2
    factors = []
    while i * i <= n:
        while n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
        i += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def calculate_factorial_prime_factors(n):
    """Phân tích n giai thừa thành thừa số nguyên tố."""
    total_factors = Counter()
    
    # Phân tích thừa số nguyên tố của tất cả các số từ 2 đến n
    for i in range(2, n + 1):
        factors = prime_factors(i)
        total_factors.update(factors)
    
    return total_factors

def max_square_from_factorial(n):
    """Tính số chính phương lớn nhất bằng cách loại bỏ đúng các thừa số nguyên tố có số mũ lẻ."""
    # Bước 1: Tính thừa số nguyên tố của n giai thừa
    factorial_factors = calculate_factorial_prime_factors(n)
    
    # Bước 2: Xác định các số nguyên tố có số mũ lẻ
    primes_with_odd_exponents = {prime for prime, exponent in factorial_factors.items() if exponent % 2 == 1}
    
    # Bước 3: Loại bỏ chính xác các số nguyên tố có số mũ lẻ khỏi danh sách các số
    used_numbers = []
    for i in range(2, n + 1):
        # Nếu i là một số nguyên tố và có số mũ lẻ, loại bỏ nó
        if i in primes_with_odd_exponents:
            continue
        
        # Nếu i không phải là một số nguyên tố cần loại bỏ, giữ lại nó
        used_numbers.append(i)
    
    # Bước 4: Tính số chính phương lớn nhất từ danh sách còn lại
    max_square = 1
    for num in used_numbers:
        max_square *= num
    
    return max_square, used_numbers

if __name__ == "__main__":
    # Nhận giá trị n từ stdin
    n = int(input("Nhập giá trị n: "))
    
    # Tính số chính phương lớn nhất và các số tạo thành nó
    max_square, used_numbers = max_square_from_factorial(n)
    
    # In ra số chính phương lớn nhất
    print(f"Số chính phương lớn nhất bằng tích của các số từ 1 đến {n} là: {max_square}")
    
    # In ra căn bậc hai của số chính phương lớn nhất
    sqrt_max_square = int(math.sqrt(max_square))
    print(f"Căn bậc hai của số chính phương đó là: {sqrt_max_square}")
    
    # In ra các số đã được sử dụng để tạo ra số chính phương
    print(f"Số chính phương đó được tạo ra bởi tích của các số: {used_numbers}")

Chào bạn!

Việc tìm số chính phương lớn nhất từ tích các số phân biệt trong khoảng 1 đến n, bằng phân tích thừa số nguyên tố nghe có vẻ phức tạp nhỉ?

Ý tưởng:

1. Phân tích thừa số nguyên tố: Phân tích mỗi số từ 1 đến n thành thừa số nguyên tố
2. Đếm số mũ: Đếm xem mỗi thừa số nguyên tố xuất hiện bao nhiêu lần.
3. Tìm số mũ chẵn lớn nhất: Chọn ra số mũ lớn nhất (chẵn) của mỗi thừa số nguyên tố.
4. Tính tích: Nhân các thừa số nguyên tố đã chọn với số mũ chẵn lớn nhất sẽ ra số chính phương lớn nhất.

Ví dụ: n = 10

• Phân tích: 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2^2, 5 = 5, 6 = 2 x 3, 7 = 7, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 10 = 2 x 5.
• Đếm số mũ: 2 (3 lần), 3 (2 lần), 5 (2 lần), 7 (1 lần)
• Số mũ chẵn lớn nhất: 2 (2 lần), 3 (2 lần)
• Tích: 2^2 x 3^2 = 36

Gợi ý: Bạn có thể dùng Python và các phương thức có sẵn như prime_factorization (có thể tự code hoặc dùng thư viện số học).

Mong là bạn sẽ tìm thấy đáp án phù hợp nhé!